We werken ook met levend rekenen: vanuit de praatronde kan een wiskundig probleem ontstaan dat met de volledige groep of in kleinere groepjes opgelost wordt. Elke woensdag bespreken we samen wiskundige onderzoeken en levend rekenen-probleempjes.
Naast de wiskundige onderzoeken werken we ook dagelijks in werkbundels van wiskunde.
28/9/16
Nummers schilderen
Probleem: een schilder krijgt als opdracht om in een nieuw
hotel de deuren te voorzien van kamernummers. Hoeveel cijfers moet hij
schilderen.
De kinderen werken per twee en
gaan onmiddellijk aan de slag. Enkele groepjes schrijven alle getallen tot 100
op en beginnen dan alle cijfers te tellen. Maar zoals altijd zijn de rekenaars
sneller klaar dan de tellers. Dus dit breng ik toch wel even onder hun
aandacht. De tellers kunnen zich ook makkelijk “mistellen”.
De rekenaars deden het zo:
Er zijn 9 getallen van 1 cijfer à 9
Er zijn 90 getallen (99 – 9) van 2 cijfers à 180
Er is 1 getal ven 3 cijfers (100) à 3
samen
192 cijfers
Probleem: Hoeveel keer zal de schilder elk cijfer moeten
schilderen. De snelle antwoorden zijn zoals gewoonlijk fout (10 keer). De
meeste kinderen maken een overzicht dat lijkt op:
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
|
10
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
|
20
|
10
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
|
30
|
11
|
20
|
23
|
24
|
25
|
26
|
27
|
28
|
29
|
|
40
|
12
|
21
|
30
|
34
|
35
|
36
|
37
|
38
|
39
|
|
50
|
13
|
22
|
31
|
40
|
45
|
46
|
47
|
48
|
49
|
|
60
|
14
|
23
|
32
|
41
|
50
|
56
|
57
|
58
|
59
|
|
70
|
15
|
24
|
33
|
42
|
51
|
60
|
67
|
68
|
69
|
|
80
|
16
|
25
|
34
|
43
|
52
|
61
|
70
|
78
|
79
|
|
90
|
17
|
26
|
35
|
44
|
53
|
62
|
71
|
80
|
89
|
|
100
|
18
|
27
|
36
|
45
|
54
|
63
|
72
|
81
|
90
|
|
|
19
|
28
|
37
|
46
|
55
|
64
|
73
|
82
|
91
|
|
|
21
|
29
|
38
|
47
|
56
|
65
|
74
|
83
|
92
|
|
|
31
|
32
|
39
|
48
|
57
|
66
|
75
|
84
|
93
|
|
|
41
|
42
|
43
|
49
|
58
|
67
|
76
|
85
|
94
|
|
|
51
|
52
|
53
|
54
|
59
|
68
|
77
|
86
|
95
|
|
|
61
|
62
|
63
|
64
|
65
|
69
|
78
|
87
|
96
|
|
|
71
|
72
|
73
|
74
|
75
|
76
|
79
|
88
|
97
|
|
|
81
|
82
|
83
|
84
|
85
|
86
|
87
|
89
|
98
|
|
|
91
|
92
|
93
|
94
|
95
|
96
|
97
|
98
|
99
|
|
|
100
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11
|
21
|
20
|
20
|
20
|
20
|
20
|
20
|
20
|
20
|
Het valt op dat elk cijfer 20
keer voorkomt, behalve de 0 en de 1 (daar zit de 100 voor iets tussen).
7/9/16 en 14/9/16
levende wiskunde:
Handjes schudden
De eerste opdracht rond levende wiskunde in het nieuwe
schooljaar is elkaar begroeten. We zijn met 22 en iedereen mag iedereen de hand
schudden. We staan in een kring en iedereen begint spontaan door elkaar te
wandelen op zoek naar andere handenschudders. Chaos, want de persoon die je
zoekt is al weer weg. Je weet niet wie je al gehad hebt. Ik zeg niets want na
nog geen halve minuut neemt Barbara het voortouw. Ze zet iedereen weer op een
kring en ze zegt dat ze zo moeten blijven staan terwijl zij een rondje maakt en
handjes schudt met alle anderen. Geniaal.
Maar wat Barbara niet ziet,
zodra ze is vertrokken, is dat Hannah, die links van haar stond, Barbara meteen
volgt op haar ronde en onmiddellijk daarna ook een derde en vierde kind. Zo
krijgen we een ongewilde slang van kinderen die steeds langer wordt en een
kring die steeds minder wordt.
Als Barbara haar ronde
afgewerkt heeft, heeft ze heel wat kinderen de hand niet geschud, nl. de
kinderen die haar “achtervolgden”.
Hannah ziet het probleem en
neemt nu het heft in handen. Ze zegt dat zij wil starten en dat iedereen moet
blijven staan. Als ze rond is, zal ze uit de kring stappen om te vermijden dat
iemand haar nog een hand kan geven, want zijzelf heeft dan iedereen een hand
gegeven en ze wil vermijden dat we dubbel tellen.
Zo gezegd. De volgende die
vertrekt is nu Barbara en zij kan één kind minder de hand schudden, nl. Hannah
die al uit de kring staat. Zo werken ze alles af. Ik heb nog steeds niets
gezegd. Wat een heerlijke groep is dit.
Hoeveel handen zijn er nu geschud? We beslissen om even per vier aan de werktafels te
gaan zitten met een kladblad om het uit te rekenen.
De meeste groepjes schrijven
een bewerking als: 21+20+19+18+17+16+… en doen dan een poging deze lange som
uit te rekenen. Elke groep rekent op een andere manier. Twee groepjes komen tot
eenzelfde oplossing: 231. De andere groepjes vinden iets anders of lopen vast
in hun rekenwerk.
Ik neem de tijd om even alles
op het bord te schikken. Ik maak een tabel van twee kolommen. In kolom 1 zet ik
een volgnummer per kind, in kolom 2 hoeveel handen het kind kan schudden.
kind
|
aantal handen
|
1
|
21
|
2
|
20
|
3
|
19
|
4
|
18
|
5
|
17
|
6
|
16
|
7
|
15
|
8
|
14
|
9
|
13
|
10
|
12
|
11
|
11
|
12
|
10
|
13
|
9
|
14
|
8
|
15
|
7
|
16
|
6
|
17
|
5
|
18
|
4
|
19
|
3
|
20
|
2
|
21
|
1
|
22
|
0
|
Eerst controleer ik of
iedereen het eens is met deze tabel en hem begrijpt. Dan vraag ik of er
groepjes waren die denken een handige manier van uitrekenen te hebben gevonden.
Het meest handige was dat sommigen de tientallen isoleerden van de eenheden en
die apart uitrekenden. Er zijn betere manieren, maar die hebben ze nog niet
gevonden.
Ik vertel hen het volgende:
stel dat ik dezelfde oefening geef niet in onze klas van 22, maar aan een groep
van 1482 personen, gaan jullie dat dan ook becijferen?
“Dat gaat te lang duren!”
Dan ziet iemand een
handig-rekentechniek: Ze wil koppels van getallen vormen die samen een rond
tiental geven. Het is een mooie vondst:
19+1, 18+2, 17+3, 16+4, 15+5, 14+6, 13+7, 12+8
en 11+9. Enkel de getallen 10, 20 en 21 blijven nu nog over. We vinden 9 x 20 =
180.
180 + 10 + 20 + 21 = 231
231 was ook het juiste totaal
dat door die twee rekengroepjes gevonden was. Blijft ons probleem bestaan dat
we een zeer lange optelsom krijgen als 1482 mensen elkaar de hand schudden.
Ik beslis de kinderen de rij
opnieuw te laten opbouwen met een kleine groep mensen (2, dan 3, dan 4, …)
We komen tot de volgende tabel.
Bovenaan het aantal deelnemers. Dan telkens in de linkerkolom persoon 1, 2, 3, …
en in de rechterkolom hoeveel handen ze elk schudden.
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|||||||
1
|
1
|
1
|
2
|
1
|
3
|
1
|
4
|
1
|
5
|
1
|
6
|
1
|
7
|
2
|
0
|
2
|
1
|
2
|
2
|
2
|
3
|
2
|
4
|
2
|
5
|
2
|
6
|
3
|
0
|
3
|
1
|
3
|
2
|
3
|
3
|
3
|
4
|
3
|
5
|
||
4
|
0
|
4
|
1
|
4
|
2
|
4
|
3
|
4
|
4
|
||||
5
|
0
|
5
|
1
|
5
|
2
|
5
|
3
|
||||||
6
|
0
|
6
|
1
|
6
|
2
|
||||||||
7
|
0
|
7
|
1
|
||||||||||
8
|
0
|
||||||||||||
De optelsom per groep komt nu
in een nieuwe tabel:
personen
|
handen schudden
|
2
|
1
|
3
|
3
|
4
|
6
|
5
|
10
|
6
|
15
|
7
|
21
|
8
|
28
|
En nu is het weer stil. Hoe
moeten we daar nu mee verder?
Astrid zegt dat ze iets ziet
van de tafels. Ze ziet dat 5 x 2à10
geeft. We kijken of er nog tafels te ontdekken vallen. En ja… daar zijn ze: 7 x
3 = 21
Dan roept Isra ineens dat het
getal in de kolom van handen schudden steeds het totaal is van het vorige getal
+ het getal links daarvan. Interessant en ook logisch want dat is telkens het
getal dat erbij komt als er 1 persoon meer deelneemt.
We zetten er nu de
vermenigvuldigingen naast.
personen
|
handen schudden
|
vermenigvuldiging
|
2
|
1
|
|
3
|
3
|
x1
|
4
|
6
|
|
5
|
10
|
x2
|
6
|
15
|
|
7
|
21
|
x3
|
8
|
28
|
De kinderen zijn enthousiast.
Hier is al een duidelijk patroon zichtbaar. Barbara merkt op dat we enkel bij
de oneven getallen een vermenigvuldiging vinden. Bij de even getallen is er ook
een vergroting maar we vinden niet zomaar een vermenigvuldiging.
Wat zit er tussen 1 en 2? 1,5
Kunnen we een pijl van x1,5 zetten van 4 naar 6. Ja, dat lukt. We krijgen
volgende tabel:
personen
|
handen schudden
|
vermenigvuldiging
|
2
|
1
|
x0,5
|
3
|
3
|
x1
|
4
|
6
|
x1,5
|
5
|
10
|
x2
|
6
|
15
|
x2,5
|
7
|
21
|
x3
|
8
|
28
|
x3,5
|
Nu is er al een duidelijk
patroon zichtbaar. Maar hoe weet ik nu met welk getal ik moet vermenigvuldigen?
Wat is het getal bij de
maalpijl ongeveer van het aantal deelnemers?
Astrid: de helft!
Iets meer of iets minder? Iets minder.
Iemand ziet de oplossing: je
moet eerst -1 doen en dan de helft berekenen. We controleren de uitspraak en
inderdaad!
Onze conclusie is
nu:
Je neemt het aantal deelnemers en trekt daar 1 vanaf (dat is omdat je
jezelf geen hand geeft). Daarvan neem je de helft (dat is om de dubbele eruit
te halen). Het gevonden getal vermenigvuldig je met het aantal deelnemers.
De formule is: (G is het
aantal deelnemers)
((G – 1):2)xG
We proberen het met 22. We
leren ook meteen het gebruik van haakjes.
((22 – 1):2)xG =
(21:2)xG =
10,5 x 22 =
231
Joehoe!
8 januari 2015
Dobbelsteentruc
Ik heb voor hen
een dobbelsteentruc. Ze zitten samen in de kring en krijgen van mij twee
dobbelstenen. Ik vertel hen dat ik buiten ga terwijl zij de dobbelstenen
rollen. Ze moeten onthouden wat ze hebben gegooid en dan de dobbelstenen weg
doen. Dan kom ik terug binnen. Zij weten wat er gegooid is en ik niet.
Ik geef hen nu
de eerste opdracht: kies samen één dobbelsteenworp van de twee en verdubbel dat
getal. Ik ga weer buiten staan om hen te laten overleggen. Ze roepen mij terug
binnen.
Nu moeten ze er
5 bij optellen. Ik weer buiten
Nu moeten ze dat
getal x5 doen. Ik (iets langer) buiten.
Tot slot moeten
ze de andere dobbelsteen (waarmee ze de rekenopdracht niet gestart zijn) nog
bij het totaal optellen. Ze zeggen mij het totaal:
91
Ik zeg hen dat
ze twee zessen hebben gegooid.
Deze keer geef
ik hen de rekenopdracht op papier:
één dobbelsteen kiezen, x2,
+5, x5, + de andere dobbelsteen
Ik kom binnen en
krijg van hen het getal 47
Ik zeg hen dat
ze twee tweeën hebben gegooid. Ze gaan uit de bol!
Nu kom ik met
nog leuker nieuws: we gaan samen onderzoeken hoe de truc werkt en als ze hem
doorgronden, kunnen ze hem thuis op mama of papa uittesten.
Hoe starten we
met ons onderzoek?
Sebbe denkt dat
ik terugkeer, m.a.w. de rekensom van achter naar voren oplos met dan telkens de
tegengestelde bewerking. We kijken even of dat kan. Meymouna merkt vrijwel
meteen op: Dat kan niet want Micha kan
niet beginnen. Hij kan niet starten met een dobbelsteen eraf te trekken want
hij weet niet wat er gegooid is.
Dan zegt iemand:
hij kent die uitkomsten uit zijn hoofd en
weet welke dobbelsteenworp erbij hoort. Anderen reageren: Dat is onmogelijk! Er
zijn zo veel verschillende mogelijkheden.
begindobbelsteen
|
x 2
|
+ 5
|
x 5
|
+ de andere
dobbelsteen
|
6
|
12
|
17
|
85
|
91
|
2
|
4
|
9
|
45
|
47
|
Ik vind dit een
schitterend idee en ze voeren dit per twee uit op een kladblad. Als de meeste
groepjes klaar zijn, zet ik alles op het schema op het bord. Ik maak een nieuw
schema als volgt:
begindobbelsteen
|
x 2
|
+ 5
|
x 5
|
+ de andere
dobbelsteen
|
1
|
2
|
7
|
35
|
?
|
2
|
4
|
9
|
45
|
?
|
3
|
6
|
11
|
55
|
?
|
4
|
8
|
13
|
65
|
?
|
5
|
10
|
15
|
75
|
?
|
6
|
12
|
17
|
85
|
?
|
Nu komen er wel
reacties: in kolom 2 staat de tafel van 2. Dat is logisch.
In kolom 4 staan
getallen uit de tafel van 5. Waarom staan er enkel getallen in die eindigen op
5 en niet op 0? Om dit te vinden kijken we naar de getallen uit kolom 3. Welk
soort getallen zijn dit? Astrid: oneven
getallen. Juist, als je een even getal vermenigvuldigt met 5 krijg je een
uitkomst eindigend op 0. Vermenigvuldig je een oneven getal met 5 dan krijg je
een getal eindigend op 5.
Opvallend is wel
die vierde kolom. En nu stelt iemand voor om in de laatste kolom de
mogelijkheden te schrijven die je kan krijgen met de tweede dobbelsteen. We
krijgen dit schema.
begindobbelsteen
|
x 2
|
+ 5
|
x 5
|
+ de andere
dobbelsteen
|
|||||
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
||||
1
|
2
|
7
|
35
|
36
|
37
|
38
|
39
|
40
|
41
|
2
|
4
|
9
|
45
|
46
|
47
|
48
|
49
|
50
|
51
|
3
|
6
|
11
|
55
|
56
|
57
|
58
|
59
|
60
|
61
|
4
|
8
|
13
|
65
|
66
|
67
|
68
|
69
|
70
|
71
|
5
|
10
|
15
|
75
|
76
|
77
|
78
|
79
|
80
|
81
|
6
|
12
|
17
|
85
|
86
|
87
|
88
|
89
|
90
|
91
|
Dat zijn dus
inderdaad niet zo veel verschillende uitkomsten. Zou Micha ze uit zijn hoofd
kennen? Nee toch. We zien wel de 91 staan
in de zesde rij en de zesde kolom. Zo weet Micha dat we twee zessen hebben
gegooid.
Als we goed
kijken, vinden we wel een patroon. Als je tweede dobbelsteen een 1 is, eindigen
de resultaten altijd op 6. Als de dobbelsteen 2 is, eindigt het resultaat op 7,
als het een 3 was, is het resultaat met een 8, … DAT IS ALTIJD 5 MINDER!
Goed gezien! Als
ik van jullie resultaat 5 aftrek, heb ik de waarde van de tweede dobbelsteen.
Bij de 5 en de 6 is dat wat moeilijker, maar in feite gaat het wel. Als ik 91 –
5 doe, kom ik bij 86. Het laatste cijfer is 6 en de tweede dobbelsteen was
inderdaad een 6. Hoe vind ik nu de eerste dobbelsteen?
GEVONDEN! Je doet ook nog -20! Want overal is het
tiental twee meer dan wat op de eerste dobbelsteen staat.
Samen is dat dus
– 25.
91 – 25 = 66.
Dat zijn twee zessen. We controleren het voor de tweede worp:
47 – 25 = 22.
Een dubbele twee!
Nu willen ze
zelf buiten gaan staan en de truc uitproberen. We doen het nog vijf keer en
telkens loopt het goed af. Ze zijn apetrots.
Amélie merkt nog
iets op: als je een 3 en een 4 gooit, maakt het niet uit waarmee je begint. Als
je begint met de 3, kom je bij 59. Dan – 25 = 34
Als je begint
met de 4, kom je bij 68. Dan – 25 = 43
Dat is een
knappe vondst.
Ik bekijk met de kinderen de website met wiskunde-oefeningen die ze kunnen vinden op de website van onze school. Bij elke wiskundebundel horen oefeningen die ze online kunnen spelen.
4 december 2014
Hoe komt het dat ik dit jaar jarig ben op een dinsdag
en vorig jaar op een maandag?
In de praatronde van groep
Micha kwam de vraag zoals ze hierboven geschreven staat. Hoe gaan we het
antwoord vinden? Ze hebben geen idee. Ze gaan dan maar aan de slag in groepjes
van twee. Sommige groepjes vragen een kalender en beginnen de maanden op te
schrijven en het aantal dagen per maand (ik heb een verzameling kalenders in de
wiskundekast – kalenders die ik bewaar sinds 2011). Dat is een goede poging
maar het leidt ons niet naar de oplossing. Ik noteer toch maar de tabel op het
bord. Amélie weet dat er 365 dagen in een jaar zijn en 366 in een
schrikkeljaar.
Niemand heeft een idee hoe
het verder moet.
Er zijn vier verschillende
kalenders uitgedeeld: 2011, 2012, 2013 en 2014.
Ik vraag hen om te kijken op
welke dag 1 januari ligt.
2011: zaterdag
2012: zondag
2013: dinsdag2014: woensdag
We zien wat in de vraag vermeld staat. Het enige dat afwijkt is dat de sprong van 2013 naar 2014 hier twee dagen is.
Ik vraag hen om alle data
van de dag van hun eerste januari te noteren. Zo krijgen ze allemaal het zelfde
lijstje:
2011: zaterdagen:
1/8/15/22/29 (jan), 5/12/19/26 (feb), 5/12/19/26 (maa), 2/9/16/23/30 (apr),
7/14/21/28 (mei), 4/11/18/25 (jun), 2/9/16/23/30 (jul), 6/13/20/27 (aug),
3/10/17/24 (sep), 1/8/15/22/29 (okt), 5/12/19/26 (nov), 3/10/17/24/31 (dec)
Iedereen, behalve de groep
van 2012 heeft het zelfde lijstje.
Amélie merkt op dat de reden
hiervan is dat 2012 een schrikkeljaar is. Ze weet ook hoe je de
schrikkeljaren
herkent en ik noteer dit even op het bord: 2000, 2004, 2008, 2012, 2016, 2020, …
De laatste twee cijfers moeten in de tafel van vier zitten.
Wat ze ook direct opmerken
is dat de maanden februari en maart het zelfde lijstje hebben (behalve 2012): 5/12/19/26
(feb), 5/12/19/26 (maa).
Hoe komt dit? De ene keer heeft februari 28 dagen en in
het schrikkeljaar 29 dagen.
Ze zien het nog niet.
Hoeveel dagen heeft een week? 7. Tel eens
de tafel van 7. 7/14/21/28. Stop! We
komen precies uit op het aantal dagen van februari. Daarom herbegint maart met
het zelfde lijstje. Er zijn 365 dagen in een jaar. Zou dat in de tafel van 7
zitten? Dat gaan we onderzoeken. Op het bord schrijf ik de getallen uit de
tafel van 7 die ze mij geven.
7
1421
28
35
42
49
56
63
70
Na 10 weken zijn er dus al 7
x 10 of 70 dagen voorbij. Is het jaar al om? Zitten we al aan 365? Neen.
Dan doen we verder. Maar kan
ik dit lijstje niet sneller afwerken? Ja,
na 20 weken heb je 140 dagen. Op deze manier bouwt het bordschema zich op.21 van het aantal dagen in een jaar)
28
35
42
49
56
63
70 140 210 280 350
27 november 2014
Nieuwe toiletten.
Via de klasraad in groep
Micha werd een probleem gemeld: Er wordt op de muur van de toiletten
geschreven. Een oplossing die door de kinderen naar voren werd geschoven was
daar iets moois over te hangen, zoals bv. een vrije tekst. In de
kinderschoolraad werd de oplossing doorgetrokken: onze toiletten pimpen. Dit
komt samen met een krantenartikel over wereldtoiletdag: hier wordt aandacht
gevraagd voor mensen die geen sanitair hebben. Enkele kunstenaars hebben toiletten
versierd.
Een lijst werd opgesteld met
32 mogelijke thema’s voor onze tien toiletten. Alle kinderen en begeleiders op
school hebben hun stem uitgebracht en nu zijn alle stembrieven binnen. Tijd
voor een telling!
Ik verdeel alle stembrieven over
de kinderen. Ze zijn in vier groepjes verdeeld. Sommigen houden er een complexe
manier van tellen op na, vind ik: het pakje formulieren doorlopen en enkel
kijken naar het aantal stemmen bij toilet 1, dan opnieuw voor toilet 2, enz.
Andere groepen kiezen spontaan een teller en een secretaris. Dat helpt. Deze
groepjes gaan sneller. Ik zie dat sommigen turven, zonder het vijfde streepje
doorheen de vier streepjes te trekken, allemaal streepjes achter elkaar dus.
Als ik de activiteit even
stilleg, worden de verschillen in aanpak vergeleken en mogen ze bijsturen.
Als de groepjes klaar zijn,
verzamelen we in de kring. De beamer en het scherm staan al op en ik heb een
lijst voor hen klaargezet waarin alle totalen netjes kunnen worden ingevuld.
Elke groep geeft zijn totaal door per toilet, ik tik het in en iedereen ziet zo
de lijst vervolledigen.
Als alle groepjes klaar
zijn, moeten we de totalen optellen van de vier groepen, dan hebben we het
algemeen totaal per toilet. Dat worden 34 hoofdrekensommen.
Hoe weten we nu welke
toiletten het hebben gehaald? “Door te
kijken welk toilet de meeste stemmen heeft, dan welk toilet de tweede meeste
stemmen heeft, en zo voort.”
Ik laat hen zoeken naar het
hoogste getal en markeer dit met een groene achtergrondkleur, dan het tweede
getal, enz. We stoppen na tien groene vakjes.
We hebben onze tien thematoiletten.13 november 2014Een nieuw boekentassenrek.
De groep van Leentje vindt
dat er een boekentassenrek moet komen op de speelplaats. Vandaag buigen we ons
over hoe die kast er moet uitzien.
Ik leg het probleem voor aan
alle kinderen. Direct hebben ze al zin om kasten te ontwerpen. Maar zo vlug
mogen we niet van stapel lopen. We weten nog niet hoe groot de kast moet zijn.
Ik vraag hen hoeveel
boekentassen er in moeten kunnen? Ze zeggen zo maar wat. Juniper merkt op dat
iedereen plaats moet hebben. Met hoeveel zijn we? Met 59. Ik vraag hen of ze al
weten met hoeveel we volgend schooljaar zullen zijn. Geen idee. Met meer of
minder? Geen idee. Goed, dan kijken we naar de bezetting van de klassen. Hebben
ze een idee hoeveel kinderen er in het eerste leerjaar zitten. Ze gaan het na voor
hun eigen leefgroep en komen op 4 bij Leentje, 4 bij Heidi en 4 bij mij. In
totaal maakt dat 12. We controleren het tweede leerjaar en komen opnieuw op 12.
Ik vertel hen dat dit het maximum is. Er zijn telkens 12 nieuwe plaatsen. Ze
merken ook dat we in het derde en vierde leerjaar al met een overtal zitten.
Dat is omdat er in het vijfde en zesde weinig kinderen zijn. Volgend schooljaar
gaan er maar 3 weg uit het zesde, maar misschien komen er wel 12 bij!
We komen op 6 x 12 = 72. Dat
is het maximum aantal kinderen in onze school.
Dat betekent dat we een kast
nodig hebben met 72 vakken. Hoe kan die er uit zien? Ik geef hen een voorbeeld:
een kast van 1 rek hoog en 72 vakken naast elkaar. Ze merken op dat dit een
heel lange kast zal zijn die misschien niet op de speelplaats kan. Ze ziet er
ook gek uit. We hebben dus:
1 x 72
Hoe kan die kast er nog uit
zien? Ze gaan aan het tekenen. Iedere keer als er ergens een juiste oplossing
valt leg ik alles stil en zet de bijhorende vermenigvuldiging op het bord. Ik
vertel hen dat ik weet hoeveel mogelijkheden er zijn en dat ik hen zal zeggen
hoeveel er nog te vinden zijn.
De oplossingen komen in deze
volgorde:
1 x 72
6 x 12
8 x 9
2 x 36
4 x 18
3 x 24
We kunnen ook de vermenigvuldigingen omdraaien. We hebben een gesprek over hoe die kasten er dan uitzien. Eigenlijk is de kast 8 x 9 de zelfde kast als 9 x 8, gewoon op zijn kant.
Ik leg hen uit dat ze alle vermenigvuldigingen gevonden hebben die 72 opleveren. We kunnen dit met nog andere getallen doen. Ik wil dat ze een manier vinden om geen vermenigvuldigingen over te slaan. We nemen het getal 60.
Het makkelijkst is de eerste vermenigvuldiging zoals ik deed met de kast.
1 x 60
Ik vertel hen dat ze nu 2 moeten controleren en dan gaat het vanzelf.
1 x 60
2 x 30
3 x 20
4 x 15
5 x 12
6 x 10
Tussen de twee getallen onderaan liggen enkel nog 7, 8 en 9. Met geen enkele van deze drie getallen vinden we een vermenigvuldiging. We zijn klaar.
23 oktober 2014
Het vermoeden van Collatz.
Op het bord schrijf ik een
patroon van getallen:
9 28 14 7 22 11 34 17 52 26 13 40 20
10 5 16 8 4 2 1
Ik laat de kinderen zoeken
naar wat er gebeurt.
Al snel vindt iemand het
patroon :2. Overal waar dat het geval is zetten we de pijl “:2”.
Welk soort getallen wordt
gedeeld door 2? De even getallen. We herhalen wat even getallen zijn. Ik doe
even een spelletje zodat iedereen het weer duidelijk weet.
De getallen die niet worden
gedeeld door 2, welk soort getallen zijn dat dan? Oneven getallen. Wat gebeurt
er met de oneven getallen? Ze worden steeds groter. Dan is het + of x. Maar het
is telkens anders. Astrid merkt op dat het van 5 naar 16 bijna x3 is. Is dat
overal zo? Inderdaad, we vinden x3 +1. We controleren het voor het volledige
patroon.
We hebben dus: een even getal doen we x2
een oneven getal doen we x3 +1
Ik zet een nieuw getal op
het bord: 15. Samen proberen we de reeks verder te zetten. We moeten steeds
controleren of het getal even of oneven is om te kunnen beslissen wat we gaan
doen.
15 46 23 70 35 106 53 160 80 40 20 10 5
16 8 4 2 1
We merken iets ongelooflijks
op. We komen weer bij 1 uit. Vanaf 40 is het patroon het zelfde als de vorige
keer. Nu gaan ze in groep aan de slag. Ze starten bij een getal en gebruiken
het patroon. Hier en daar moet ik rekenhulp bieden. Alle groepjes komen bij 1
uit.
Ik leg hen uit dat dit
patroon ontdekt is door Lothar Collatz in 1937. Hij heeft veel getallen gekozen
als startgetal en kwam telkens op 1 uit. Aangezien de getallenrij oneindig is
en hij het dus nog niet met alle getallen probeerde vermoeden we dat we telkens
op 1 uit komen: het vermoeden van
Collatz.
16 oktober 2014
Het probleem van de voetbal.
Opdracht tegen vandaag: breng een voetbal mee. Het
moet een ‘ouderwets’ model zijn, met witte en zwarte vakjes. Op de dag van de
waarheid heeft echter geen enkel kind zo’n bal mee. Gelukkig heb ik er zelf
een. We hebben er nog een op school, maar die is minder geschikt vanwege de
bedrukking. We moeten dan maar met z’n twintigen met die ene bal aan de slag.
We zitten in de kring rond de voetbal die op de tafel in de kring ligt.
Hoe gaan we dit aanpakken?
Romeo: “Ik wil
starten met de vijfhoeken, daarvan zijn er, lijkt het,
minder. We
kunnen onze vingers er op leggen.”
Romeo probeert het en het wil niet zo lukken.
Iemand zegt: “We
kunnen met een stift aanduiden welk vakje we al geteld
hebben.” Micha: “Ik wil mijn bal liever
niet beschadigen.”
Romeo weer: “We
kunnen kleefbriefjes kleven op elk geteld vlak.”
Het merkwaardige is dat ik dit zelf thuis ook deed om
de oplossing te vinden toen ik deze oefening voorbereidde. Romeo heeft precies
het zelfde idee.
Hoeveel denken jullie?
“het dubbel, 24
dus”.
Ze vinden geen reden voor dit antwoord. Ik beschouw
het als een gokje.
In de kring merken ze op dat het niet makkelijk was en
dat er verschillende antwoorden zijn. Het zal wel dicht bij 18 of 19 liggen
aangezien ze die antwoorden, zo dicht bij elkaar, gevonden hebben.
Ik vraag hen opnieuw goed de bal te bekijken. Ik vraag
hen te kijken hoeveel zeshoeken er rond één vijfhoek liggen. Ze zien dat het er
vijf zijn. Dat is logisch, want er ligt er één aan elke zijde en het is een
vijfhoek.
Iemand merkt op: “dan
moeten we 12 maal 5 doen.” We rekenen het onmiddellijk uit op een kladblad
in de kring. Iemand weet dat je daarvoor 10 x 5
en 2 x 5 moet doen en dan
optellen. Het antwoord is 60.
Maar dat ligt veraf van de 18 of 19 die we daarnet
hadden. Hoe komt dat?
Even weten ze het niet.
Dan zegt Meymouna: “Sommige vakjes tellen we twee keer!” Dit klopt niet helemaal (we
tellen elke zeshoek drie maal en dat wil ik hen nu laten inzien).
Ik vraag hen of ze kunnen zien aan hoeveel vijfhoeken
een zeshoek grenst. Dat is makkelijk: 3.
Dat betekent dat we elke zeshoek drie keer hebben geteld. Hoe vinden we nu de
oplossing? Ik hoor: -3 en :3. Na enig denkwerk komen ze tot : 3.
60 : 3 = 20. De antwoorden 18 en 19 lagen dicht in de
buurt.
Er zijn 20 witte zeshoeken.
We hebben nog 40 minuten. Er is nog tijd voor een
nieuwe uitdaging: Hoeveel keer is genaaid om alle lapjes aan elkaar te krijgen?
Eerst is er de reactie: Dat is veel te moeilijk.
Dat wordt rekenen want
niemand weet het antwoord. Ik voel aan dat ze dit rustig willen uitrekenen dus
ik laat hen per twee werken.
Astrid neemt spontaan de
blokjes en legt 6 x 10 blokjes. Voor ze goed klaar is weet ze al dat het 60 is
en dat ze nog eens moet verdubbelen naar 120.Milan zet de tafel van 6 op papier en doet verder met 11 x 6, 12 x 6, enz.
Terug in de kring zijn er al
verschillende groepen die 120 hebben gevonden op hun eigen manier. We tellen
daar de 60 van de vijfhoeken bij op. 120 + 60 = 180. (dat ging vlot).
Manon zit al de hele tijd
met haar vinger in de lucht en ik voel aan dat ze iets belangrijks heeft. Het is te veel want sommige naden hebben we
al geteld bij de zeshoeken.
Welke dan en hoeveel? Ik
moet hen helpen want ze vinden het niet. Het is nochtans eenvoudig want elk
naadje is de grens tussen twee figuurtjes. Dat betekent dat we de naadjes dubbel
hebben geteld. Hoe vinden we nu de oplossing? En dan komt het: : 2.
180 : 2 = 90. Er zijn 90
naden.
2 oktober 2014
De opeenvolging van led-lichtjes.
In de praatronde heeft
Astrid een scepter uit de Efteling. Hij geeft licht in afwisselende kleuren.
Sommige kinderen weten dat er led-lampjes in zitten. We vragen ons af of er
verschillende kleuren van lampjes in zitten of één lampje dat van kleur kan
veranderen.
Yassin heeft de volgende dag
een schildpadknuffel mee. Door het schild kan je binnenin vier lampjes zien:
rood, geel, groen, blauw.
Als hij ze aanzet, branden
ze in een vaste volgorde: geel, groen, blauw, rood.
We vragen ons af hoeveel
mogelijkheden er zijn. We lossen het probleem op tijdens het levend rekenen met
de tweede graad.
Eerst laat ik de kinderen in
tweetallen gewoon doen. “Zoek maar uit en
verwittig mij als je denkt een systeem of oplossing te hebben.” Er zijn
enkele impulsieve veronderstellingen: “
Acht, dat is het dubbel van het aantal lampjes.” of “16, want dat vind je door 4 x 4 te doen”. De meeste duo’s gaan dan gedreven
aan de slag. Ik ga rond en kijk of sommige groepjes dubbele oplossingen hebben.
Die schrap ik dan. Het is niet makkelijk overzicht te houden op hun kladblad en
ze hebben meermaals dubbele oplossingen.
Sam zegt dat het tijdrovend
is om de benamingen van de vier kleuren telkens voluit te schrijven. De
volledige groep wordt gevraagd dit op te lossen: “afkorten, kleurtjes gebruiken, symbolen gebruiken.”
Nu het probleem van het
noteren van de baan is, kunnen ze sneller werken. Het valt me op dat geen
enkele groep een echt systeem verzint. Ze doen maar wat en controleren telkens
al hun voorgaande oplossingen om te zien of ze die al hebben. De groep met de
meeste oplossingen zit aan 13.
Ik vraag of ik al een paar
oplossingen op het bord kan krijgen. Ik werk met kleurkrijt en vraag gewoon aan
elk groepje om een oplossing te geven die nog niet op het bord staat. Sommige
groepen zie ik op een blaadje schrappen wat ik op het bord zet. Zo hebben ze
een overzicht over wat ze mij nog kunnen zeggen.
Na een poos wordt het
moeilijk nog nieuwe combinaties te vinden.
Dan merkt Astrid iets
belangrijks op: “Er staan vijf reeksjes
op die beginnen met een rood lampje en er staan er maar drie op die met een
geel lampje beginnen, vier met een groen en vier met een blauw. Als er vijf
zijn van rood, moeten er ook vijf zijn van al die andere.”
Ik vraag: “Hoeveel combinaties gaan we vinden als we
dan klaar zijn? 4 x 5 is 20 wordt al snel gevonden. We zoeken daarop de
ontbrekende combinaties. Tijdens het zoeken wordt het al snel duidelijk dat we
volgens een systeem beginnen te denken:
Als het eerste bolletje
groen is en het tweede blauw, dan kan je daarachter twee mogelijkheden
verzinnen: één waar rood op de derde plaats staat en geel op de vierde en
omgekeerd, geel op de derde en rood op de vierde.
1
|
2
|
3
|
4
|
groen
|
blauw
|
geel
|
|
groen
|
blauw
|
geel
|
rood
|
Dan merkt Astrid op: “Dan zijn we fout als we zeggen dat er vijf
reeksjes zijn met rood vooraan. Het moeten er zes zijn. En dan ook van de
andere kleuren vooraan.”
We vullen ons bord aan. Dit
zijn bv. de zes combinaties waarbij groen vooraan staat.
1
|
2
|
3
|
4
|
groen
|
blauw
|
rood
|
geel
|
groen
|
blauw
|
geel
|
rood
|
groen
|
rood
|
blauw
|
geel
|
groen
|
rood
|
geel
|
blauw
|
groen
|
geel
|
blauw
|
rood
|
groen
|
geel
|
rood
|
blauw
|
Met vier lampjes blijken er
dus 4 x 6 combinaties te bestaan. En dan heb ik de kinderen niet op het feit
gewezen dat een combinatie R, Ge, Gr, B, in praktijk het zelfde lichteffect
geeft als de combinatie Ge, Gr, B, R. Op zich wel een andere combinatie, maar
in praktijk is het verschil niet zichtbaar, tenzij de combinatie afgesloten
wordt met een pauze. Ik wil hen echter niet in verwarring brengen.
Wat nu als er 5 lampjes
zijn? Of 26? Zouden we dat ook kunnen uitrekenen. Zeker wel, enkel wordt het
uittekenen een probleem. We moeten het wiskundig kunnen oplossen.
We zoeken nu het aantal
mogelijkheden met drie lampjes. Dat is zelfs eenvoudiger dan wat we tot nu toe
deden. Astrid vermoedt: “3 x 6, want
daarnet was het 4 x 6”.
Opnieuw Astrid heeft een
subliem idee: “Laat ons één kleur kiezen
die we wegdoen: groen. We vegen alle groene bolletjes van het bord af en we
zien wat er overblijft. Ik denk de helft.”
Zo gezegd, zo gedaan. De
spons erover. Ineens blijken combinaties wel vier keer voor te komen. Een gedoe
dus om die allemaal weg te vegen. We beslissen ze gewoon opnieuw te tekenen.
Ik teken ze op het bord,
geholpen door de kinderen:
1
|
2
|
3
|
rood
|
geel
|
blauw
|
rood
|
blauw
|
geel
|
blauw
|
rood
|
geel
|
blauw
|
geel
|
rood
|
geel
|
rood
|
blauw
|
geel
|
blauw
|
rood
|
Er zijn zes combinaties. Ze
schrikken ervan hoe weinig het er zijn.
Welke vermenigvuldiging
hoort erbij? “2 x 3” Iemand zegt “3 x 2”. Het juiste antwoord is “3 x 2”,
ook al is de oplossing van beide “6”.
Op het bord schrijf ik de
volgende tabel:
aantal lampjes
|
vermenigvuldiging
|
aantal mogelijkheden
|
patroon
|
3
|
3 x 2
|
6
|
|
4
|
4 x 6
|
24
|
?
|
Verder geraken we vandaag
niet.
De volgende activiteit gaat
door op 9 oktober 2014
Eerst zoeken we de
makkelijkste combinatie: twee lampjes. We vullen onze tabel er mee aan.
aantal lampjes
|
vermenigvuldiging
|
aantal mogelijkheden
|
patroon
|
2
|
2 x 1
|
2
|
|
3
|
3 x 2
|
6
|
|
4
|
4 x 6
|
24
|
?
|
We zoeken ook even naar het
aantal combinaties met 5 lampjes. We voegen oranje toe aan de reeks van 4
kleuren. We zoeken allemaal combinaties met blauw vooraan. Het zijn er 24. Dat
vinden ze merkwaardig, want bij vier lampjes zijn er ook 24 combinaties. Ze
beseffen al snel dat er 5 reeksen van 24 zijn, want je kan net als blauw
vooraan, ook de vier andere kleuren vooraan plaatsen en daarmee 24 combinaties
maken. We krijgen dus 5 x 24.
aantal lampjes
|
vermenigvuldiging
|
aantal mogelijkheden
|
patroon
|
2
|
2 x 1
|
2
|
|
3
|
3 x 2
|
6
|
|
4
|
4 x 6
|
24
|
|
5
|
5 x 24
|
120
|
Even wordt het zoeken naar
de oplossing op 5 x 24, maar met de gekleurde schijfjes snappen ze het wel.
Ze zien dat het aantal
combinaties snel begint te stijgen. Tekenen wordt nu echt onmogelijk. Het wordt
tijd om een patroon te beginnen ontdekken.
Hannah merkt op dat elke
vermenigvuldiging begint met het aantal lampjes.
aantal lampjes
|
vermenigvuldiging
|
aantal mogelijkheden
|
patroon
|
2
|
2 x 1
|
2
|
|
3
|
3 x 2
|
6
|
|
4
|
4 x 6
|
24
|
|
5
|
5 x 24
|
120
|
aantal lampjes
|
vermenigvuldiging
|
aantal mogelijkheden
|
patroon
|
2
|
2
|
||
3
|
6
|
||
4
|
24
|
||
5
|
5 x 24
|
120
|
Op die manier voorspellen we
de volgende vermenigvuldiging
aantal lampjes
|
vermenigvuldiging
|
aantal mogelijkheden
|
patroon
|
2
|
2
|
||
3
|
6
|
||
4
|
24
|
||
5
|
120
|
||
6
|
6 x 120
|
720
|
Ook deze kunnen we
uitrekenen. De volgende vermenigvuldiging vinden we ook, maar ik moet die voor
de kinderen toch even uitrekenen.
aantal lampjes
|
vermenigvuldiging
|
aantal mogelijkheden
|
patroon
|
2
|
2
|
||
3
|
6
|
||
4
|
24
|
||
5
|
120
|
||
6
|
720
|
||
7
|
7 x 720
|
5040
|
Nu wil ik weten hoeveel
combinaties er zijn met 16 lampjes. Het probleem is meteen duidelijk. We
beschikken niet over het resultaat van de vermenigvuldiging die daarvoor komt,
nl. het resultaat bij 15 lampjes. We hebben dus iets anders nodig. Ikzelf zie
de oplossing en help hen even vooruit. Ik schrijf voor hen het patroon op.
aantal lampjes
|
vermenigvuldiging
|
aantal mogelijkheden
|
patroon
|
2
|
2
|
1 x 2
|
|
3
|
6
|
1 x 2 x 3
|
|
4
|
24
|
1 x 2 x 3 x 4
|
|
5
|
120
|
||
6
|
720
|
||
7
|
7 x 720
|
5040
|
Vinden ze de volgende? Ja
hoor. Ze vullen zelf aan.
aantal lampjes
|
vermenigvuldiging
|
aantal mogelijkheden
|
patroon
|
2
|
2
|
1 x 2
|
|
3
|
6
|
1 x 2 x 3
|
|
4
|
24
|
1 x 2 x 3 x 4
|
|
5
|
120
|
1 x 2 x 3 x 4 x 5
|
|
6
|
720
|
1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
|
|
7
|
7 x 720
|
5040
|
1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7
|
De oplossing bij 16 lampjes
wordt dan: 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 x 13 x 14 x 15 x
16.
Hannah wil proberen met de
rekenmachine. Die slaat tilt na x12. Het getal wordt te groot. Maar in elk
geval hebben we de formule ontdekt. Bravo voor onszelf.
4 september 2014 en 25 september 2014
Hoeveel kans heb ik om met een dobbelsteen een 3 te
gooien?
De kinderen mogen impulsief
antwoorden.
Er komen antwoorden zoals:
klein, groot, gemiddeld, 50 op de 100, 50%.
Ik laat hen per twee
experimenteren. Ze krijgen een dobbelsteen, potlood en kladblad. Sommige duo’s weten niet goed waar te
beginnen. Het is hun eerste keer. Anderen tonen meer initiatief en beginnen één
of andere vorm van registreren te gebruiken.
Na een vijftal minuten vraag
ik wie een manier heeft bedacht om op te schrijven wat ze doen. Er zijn twee
interessante pistes:
- Een groepje zet een
streepje telkens het geen drie is en een “3” als er wel een drie werd gegooid.
- Een ander groepje noteert
alles wat ze gooien en groeperen de resultaten (alle enen samen, alle tweeën
samen, …)
Ik verdeel de klas in twee
en de ene helft gaat te werk volgens de eerste methode, de andere helft volgens
de tweede methode. Ze krijgen 5 minuten. Spontaan zegt al iemand dat we daarna
alles moeten optellen, zelfs van alle groepjes samen.
Het wordt een flink werk om
alle resultaten op te tellen. Er wordt gehoofdrekend en onder elkaar gerekend.
Sommige kinderen tonen het aan andere.
Op onderstaande foto zie je
de resultaten van de twee groepen. Links de groep van de “streepjes”, rechts de
groep die alles noteerde. De “3” werd 67 + 37 = 104 keren gegooid.
Volgens de wiskundige logica
zou elk resultaat ongeveer evenveel keren moeten voorkomen. Daarvoor hebben we
echter te weinig gegooid met z’n allen. Ik weet dat de kans één op zes is, maar
zoals uit de foto blijkt zijn sommige getallen meer gegooid dan anderen,
vergelijk maar eens de 6 t.o.v. de 2. Het lijkt wel of je meer kans om een zes
te gooien dan een 2.
Ik noteer wat we weten op
het bord:
Hoe berekenen we nu de kans?
Iemand zegt: “104 op 563” of “104 op 459”.
Ik moet hen helpen want zij
komen er niet uit. Ik neem een muntstuk en vraag hoeveel kanten er aan het
muntstuk zijn. “2”. “Als ik de kant met het getal wil gooien,
hoeveel andere mogelijkheden zijn er dan?”
”Nog één, nl. de andere kant.”
“ Dat betekent dat ik de mogelijkheid die ik wil niet
kan afwegen tegenover de andere mogelijkheid, want dan krijg ik 1 op 1. Ik moet
het afwegen tov het totaal aantal mogelijkheden, dan heb ik 1 op 2. Dat is de
kans die ik heb om munt te gooien. Het juiste antwoord is dus 101 op 563. Is
dat nu de kans om een drie te gooien? Zo’n grote getallen?
Ik moet hen helpen en laat
hen met een rekenmachine uitrekenen hoeveel keer 104 past in 563. Het antwoord
is 5,4. Dat ligt aardig in de buurt van 6. Vanuit het probleem met het muntstuk
is het nu duidelijk dat er zes mogelijkheden zijn en dat een getal één kans op
zes heeft om gegooid te worden.29 september 2014
Astrid heeft een karton appelsap mee voor de klas. Oma heeft twee appelbomen en bracht de appels naar een boer die ze perste. Het karton bevat 5 l.
Kan iedereen bediend worden? We zijn met twintig.
Astrid, Amélie en Yassin zoeken het uit.
Al snel komt Astrid met een maatbeker van een liter aandraven. Deze is verdeeld in 10 dl. Als ze 1 volle maatbeker aftappen en iedereen krijgt een dl, dan kan ze al tien kinderen bedienen. Met 2 l. dus twintig kinderen.
Dan is er nog 3 l. over in het karton.
Het gaat nog een keer. Zo krijgt iedereen 2 dl. Nu is er al 4 l. uit het vat. Er blijft nog 1 l. over.
Nu vinden ze snel de oplossing: als ieder nu een halve dl. krijgt dan kunnen we het nog twintig keer doen.
Iedereen heeft 2 en een halve dl. appelsap.
En nu de bekers vullen!
31/3/14
Finn: Hoeveel woorden kan je maken?
28 maart 2014
Dario: het aantal mogelijkheden van 2 lampjes op een legoblokje.
24 maart 2014
Astrid: wiskundig onderzoek: hoe kan je een cijfer vergroten?
18 december 2013
Romeo's wiskundige onderzoek passeert even. Hij schakelt de groep in om hem te helpen. Het probleem is dat hij niet weet hoe hij een cirkel in drie gelijke delen moet verdelen. Het idee van Finn helpt het meest: verdeel eerst je cirkel in 4, dat is makkelijker. Dan haal je van elk deel een stukje af om samen het derde deel te maken. Hij zal proberen.
Hoeveel liter water zit er in ons aquarium? Dat is nodig voor ons aquarium om te weten hoeveel vissen er in kunnen. Hoe kunnen we dit uitrekenen? De ideeën komen: alles er uit scheppen met een maatbeker, maar dan is het water er weer uit. Als we weten hoeveel plaats een liter inneemt, en we weten hoeveel plaats ons aquarium inneemt, dan kunnen we het misschien vinden. Dat is een goede piste. Vanmiddag zullen enkele kinderen een poging doen.
